Данное словосочетание в предложениях может писаться по-разному.Рассмотрим на примерах:_по последнему случаю (по какому?); у нас прилагательное и предлог «по» пишем раздельно без дефиса.Через дефис данное нам словосочетание следует писать если в предложении оно является наречием,отвечает на вопрос (как?) по-последнему.Правильно «по-последнему», т.к. это наречие, а наречия, образованные от прилагательных и местоимений при помощи приставки «по-» и заканчивающиеся на «-ему», «-ому», «ски-» («цки-«) или «ьи-«, пишутся через дефис. Например: по-простому, по-нашему и т.д.